本教程使用极限定义介绍了自然指数函数 \( e^x \) 的导数。我们还涵盖了形如 \( e^{u(x)} \) 的复合指数函数的导数，并提供了详细的例题与解答。
1. 利用极限定义证明 ex 的导数
函数 \( f(x) \) 的导数定义为：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]设 \( f(x) = e^x \)。则：
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h} \quad \text{（利用 } e^{x+h} = e^x e^h \text{）} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{e^x (e^h - 1)}{h} \\ &= e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} \end{aligned} \]现在我们计算极限 \( \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} \)。令 \( y = e^h - 1 \)，从而当 \( h \to 0 \) 时 \( y \to 0 \)。则：
\[ e^h = y + 1 \implies h = \ln(y + 1) \] \[ \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\ln(y+1)} \] \[ = \lim_{y \to 0} \frac{1}{\frac{1}{y} \ln(y+1)} = \lim_{y \to 0} \frac{1}{\ln((y+1)^{1/y})} \]利用欧拉常数 \( e \) 的定义：
\[ e = \lim_{m \to 0} (1 + m)^{1/m} \implies \lim_{y \to 0} (y+1)^{1/y} = e \] \[ \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \frac{1}{\ln e} = 1 \]
公式：
\[ f'(x) = e^x \]
结论：任何形如 \( f(x) = k e^x \) 的函数（其中 \( k \) 为常数），其导数等于其本身乘以 \( k \)。
2. 复合函数 y = eu(x) 的导数
对于函数 \( u(x) \)，我们使用链式法则：
\[ \frac{d}{dx} e^{u(x)} = \frac{d}{du} e^{u} \cdot \frac{du}{dx} = e^{u(x)} \frac{du}{dx} \]
链式法则公式：
\[ \frac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)} \frac{du}{dx} \]
3. 经典例题与解答
经典例题：求复合指数函数的导数
求下列函数的导数：
- \( f(x) = e^{x^3 - 2x + 3} \)
- \( g(x) = e^{\sqrt{x^2 + 1}} \)
- \( h(x) = e^{\frac{x}{x-2}} \)
解答：
-
\( u(x) = x^3 - 2x + 3 \implies \frac{du}{dx} = 3x^2 - 2 \)
\[ \frac{d}{dx} f(x) = e^{u(x)} \frac{du}{dx} = (3x^2 - 2) e^{x^3 - 2x + 3} \] -
\( u(x) = \sqrt{x^2 + 1} \implies \frac{du}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)
\[ \frac{d}{dx} g(x) = e^{u(x)} \frac{du}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, e^{\sqrt{x^2 + 1}} \] -
\( u(x) = \frac{x}{x-2} \implies \frac{du}{dx} = -\frac{2}{(x-2)^2} \)
\[ \frac{d}{dx} h(x) = e^{u(x)} \frac{du}{dx} = -\frac{2}{(x-2)^2} \, e^{\frac{x}{x-2}} \]